Cateva formule de calcul prescurtat + ultima cifra a unei puteri cu exp. nat.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)²  = a² – 2ab + b²

(a – b)(a + b) = a² – b²

(a + b + c)²  = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  sau (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  sau  (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 –  ab + b2)

an – bn = (a – b)(an–1 + a n–2b + a n–2 b2 + … + b n–1),   pentru oricare n    = >

an – bn = M(a – b)(multiplu de a – b) ;

an – bn = (a + b)(an–1 – a n–2b + a n–2 b2 –… –b n–1),   pentru oricare n par    = >

an – bn = M(a + b)(multiplu de a + b),  pentru oricare n par.;

an + bn = (a + b)(an–1 – a n–2b + a n–2 b2 –… +b n–1),   pentru oricare n impar    = >

an + bn = M(a + b)(multiplu de a + b),  pentru oricare n impar;

(a + 1)n = M(a) + 1

(a+ b)n =  an + Cn1 an–1 b + Cn2 a n–2 b2  + Cn3 a n–3 b3 + … + Cnn bn),

(a– b)n=an – Cn1 an–1 b + Cn2 a n–2 b2–Cn3 a n–3 b3 + … + (–1) Cnk a n–k bk + …+(–1) n Cnn bn,

Cum calculăm ultima cifră a unei puteri cu exponent natural?

1)  Dacă  baza puterii este 0 sau are ca ultimă cifră, cifra 0, atunci ultima cifră a acelei puteri este 0.

Exemplu:   0329  are ultima cifră  0, se scrie:   u(0329 ) = 0;

3201234 are ultima cifră  0, se scrie:   u(3201234) = 0.

2)  Dacă  baza puterii este 1 sau are ca ultimă cifră, cifra 1,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 1.

Exemplu:   1329  are ultima cifră  1, se scrie  u(1329 ) = 1;

3211234 are ultima cifră  1, se scrie  u(3211234) = 1;

3)  Dacă  baza puterii este 5 sau are ca ultimă cifră, cifra 5,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 5.

Exemplu:   5329  are ultima cifră  5, se scrie  u(5329 ) = 5;

13251234 are ultima cifră  5, se scrie  u(13251234) = 5.

4)  Dacă  baza puterii este 6 sau are ca ultimă cifră, cifra 6,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 6.

Exemplu:   6329  are ultima cifră  6, se scrie  u(6329 ) = 6;

261234 are ultima cifră  6, se scrie  u(261234) = 6;

5)  Dacă  baza puterii este 2 sau are ca ultimă cifră, cifra 2,  atunci ultima cifră a acelei puteri se calculează, ca în exemplele:

Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  22015;     b) 2522234

a) u(22015) =  ?

21 = 2

22 = 4

23 = 8

24 = 16

…………………………

25 = 32

u(21 ) =  2 ;  u(22 ) =  4;     u(23 ) =  8;     u(24 ) =  6 ;  u(25 ) =  2; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 2.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 503 şi restul 3,  ultima cifra va fi  23, adică 8. Putem scrie  2015 = 4 ∙ 503 + 3.    Deci :   u(22015)  = 8.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 2.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 8.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 6,  fiind ultima cifră a puterii 24.

  1. b) u(2522234) = u(22234) = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

6) Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  32014;     b) 2531145 .

a) u(32014) = ?

31 = 3

32 =   9

33 = 27

34 = 81

…………………………

35 = 243

u(31 ) =  3 ;  u(32 ) =  9;     u(33 ) =  7;     u(34 ) =  1 ;  u(35 ) =  3; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 3.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 503 şi restul 2,  ultima cifra va fi  32, adică 9.  Putem scrie  2014 = 4 ∙ 503 + 2.    Deci :   u(32014)  = 9.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 3.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 7.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 1,  fiind ultima cifră a puterii 34.

b) u(2531145) = u(31145)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

7) Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  4194;     b) 214117 .

  1. a) u(4194) = ?

41 =     4

42 =   16

………………………….

43 =   64

u(41 ) =  4 ;  u(42 ) =  6;     u(43 ) =  4;     

Se observă că  ultima cifră se repetă după două puteri ale lui 4.

Împărţim exponentul puterii la 2, se obţine  câtul 97 şi restul 0,  ultima cifra va fi ultima cifra a puterii  42, adică 6. Putem scrie  194 = 2 ∙ 97 + 0.    Deci :   u(4194)  = 6.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 2.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 6.

  1. b) u(214117) = u(4117)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

8)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  7143;     b) 347141 .

  1. a) u(7143) = ?

71 =      7

72 =     49

73 =   343

74 =  2041

…………………………

75 = … 7

u(71 ) =  7 ;  u(72 ) =  9;     u(73 ) =  3;     u(74 ) =  1 ;  u(75 ) =  7; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 7.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 35 şi restul 3,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii  73 , adică 3. Putem scrie  143 = 4 ∙ 35 + 3.    Deci :   u(7143)  = 3.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 7.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 3.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 1, care se găseşte ca fiind ultima cifră a puterii 74.

  1. b) u(347141) = u(7141)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

9)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  8341;     b)1378454 .

  1. a) u(8341) = ?

81 =       8

82 =     64

83 =   512

84 = 4096

…………………………

85 = … 8

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 8.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 85 şi restul 1,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii  81 , adică 8. Putem scrie  341 = 4 ∙ 85 + 1.    Deci :   u(8341)  = 8.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k  este câtul,  r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 8.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 2.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 6,  care se găseşte ca fiind ultima cifră a puterii 84.

b) u(1378454) = u(8454) = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!…

10)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  9598;     b) 5492135 .

  1. a) u(9598) = ?

91 =       9

92 =     81

…………………………………..

93 =   …9

Se observă că  ultima cifră se repetă după două puteri ale lui 9.

Împărţim exponentul puterii la 2, se obţine  câtul 299 şi restul 0,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii 92 , adică 1. Putem scrie  598 = 2 ∙ 299 + 0.    Deci :   u(9598)  = 1.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k  este câtul,  r este restul  împărţirii exponentului la 2.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 1.

  1. b) u(5492135) = u(92135) = ?

Se rezolvă,ca în modelul, mai sus prezentat!…

(Natalia Ghita, Agnita)

27 de răspunsuri la Cateva formule de calcul prescurtat + ultima cifra a unei puteri cu exp. nat.

  1. cristina zice:

    foarte folositor !

  2. pisi zice:

    ce inseamna c indice n la puterea 1 , 2 ,3 etc?

  3. D1ni prf zice:

    eu as vrea sa stiu daca de ex:este 67^2010 la cat il impart pe 2010?

  4. ajutati-ma, cum pot sa rezolv 2 la puterea 3pe2 ori 3 la puterea4pe3? repede va rog

  5. simona zice:

    cat e 2 la puterea 11

  6. eu zice:

    (574-4)^2,4 = cat ?

  7. nataliaghita zice:

    2,4 = 24/10 = 12/5

    574 – 4 = 570

    570^12/5 => radical de ordinul 5 din 570^12 …

  8. HeRoN zice:

    cum aflu care este a 2008 zecimala a numarului 0,(123) ?????

  9. Ioana zice:

    cat e 3 la puterea 2 la puterea 5 : (2 la puterea 5) 3 ?

  10. corina zice:

    foarte,foarte folositor .Mi-ati fost de mare ajutor.Acum am inteles .Multumesc mult .

  11. Bogdan.r zice:

    Ma puteti ajuta va rog? Csre numar e mai mare: 6^43 sau 63^21 ?

  12. Eliza zice:

    Eu nu înțeleg cum se calculează ….ex :4 la puterea 2017

    • Costi zice:

      4^1=4; 4^2=16 ; 4^3= 64; 4^4=256 … se obs repetitia din rezultatele ridicarilor la putere a ultimei cifre. ex la prima ridicare 4..la a doua ridicare ultimul nr este 6..la a3a ridicare ultimul nr este 4..etc.. deci avem o repetitie a lui 4 si 6. deci sunt 2 nr in total. atunci 2017:2= 1008 rest 1. rest 1 inseamna ca avem ultima cifra 4. daca restul era zero atunci ultima cifra era 6. sper sa iti fi fost de folos.

  13. Adrian zice:

    2 la puterea 5 = 32 variante
    Vreau si eu cele 32 variante desfășurate…
    Varianta1: A +(pozitiv) si -(negativ)
    V2: B(+)si (-)
    V3: C(+)si (-)
    V4: D(+) si (-)
    V5: E(+)si(-)

    Va rog să îmi desfășurați cele 32 variante..va multumesc

    • nataliaghita zice:

      2 la puterea a 5 -a = 32, adica 2 la puterea a 5-a = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 (in multimea numerelor naturale), ceea ce inseamna ca ultima cifra este 2.
      Vezi, mai sus scris : Cum calculăm ultima cifră a unei puteri cu exponent natural?

      32 nu reprezinta numar de variante!

  14. Cammy zice:

    Buna seara va rog frumos sa ma ajutati sa inteleg de unde extrag numerele in cazul formulei ex. a^2+b^2 cum fac sa inteleg am neaparata nevoie va multumesc mult nu imi aduc aminte nimic despre acest subiect imi trebuie sa imi pot ajuta fica la scoala multumesc din nou

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s