Cateva formule de calcul prescurtat + ultima cifra a unei puteri cu exp. nat.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a – b)²  = a² – 2ab + b²

(a – b)(a + b) = a² – b²

(a + b + c)²  = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³  sau (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³  sau  (a – b)³ = a³ – b³ – 3ab(a – b)

a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² –  ab + b²)

aⁿ – bⁿ = (a – b)(a^n–1 + a ^n–2b + a ^n–2 b² + … + b ^n–1),   pentru oricare n    = >

aⁿ – bⁿ = M(a – b)(multiplu de a – b) ;

aⁿ – bⁿ = (a + b)(a^n–1 – a ^n–2b + a ^n–2 b² –… –b ^n–1),   pentru oricare n par    = >

aⁿ – bⁿ = M(a + b)(multiplu de a + b),  pentru oricare n par.;

aⁿ + bⁿ = (a + b)(a^n–1 – a ^n–2b + a ^n–2 b² –… +b ^n–1),   pentru oricare n impar    = >

aⁿ + bⁿ = M(a + b)(multiplu de a + b),  pentru oricare n impar;

(a + 1)ⁿ = M(a) + 1

(a+ b)ⁿ =  aⁿ + C_n¹ a^n–1 b + C_n² a ^n–2 b²  + C_n³ a ^n–3 b³ + … + C_nⁿ bⁿ),

(a– b)ⁿ=aⁿ – C_n¹ a^n–1 b + C_n² a ^n–2 b²–C_n³ a ^n–3 b³ + … + (–1) C_n^k a ^n–k b^k + …+(–1) ⁿ C_nⁿ bⁿ,

…

Cum calculăm ultima cifră a unei puteri cu exponent natural?

1)  Dacă  baza puterii este 0 sau are ca ultimă cifră, cifra 0, atunci ultima cifră a acelei puteri este 0.

Exemplu:   0³²⁹  are ultima cifră  0, se scrie:   u(0³²⁹ ) = 0;

320¹²³⁴ are ultima cifră  0, se scrie:   u(320¹²³⁴) = 0.

2)  Dacă  baza puterii este 1 sau are ca ultimă cifră, cifra 1,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 1.

Exemplu:   1³²⁹  are ultima cifră  1, se scrie  u(1³²⁹ ) = 1;

321¹²³⁴ are ultima cifră  1, se scrie  u(321¹²³⁴) = 1;

3)  Dacă  baza puterii este 5 sau are ca ultimă cifră, cifra 5,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 5.

Exemplu:   5³²⁹  are ultima cifră  5, se scrie  u(5³²⁹ ) = 5;

1325¹²³⁴ are ultima cifră  5, se scrie  u(1325¹²³⁴) = 5.

4)  Dacă  baza puterii este 6 sau are ca ultimă cifră, cifra 6,  atunci ultima cifră a acelei puteri este 6.

Exemplu:   6³²⁹  are ultima cifră  6, se scrie  u(6³²⁹ ) = 6;

26¹²³⁴ are ultima cifră  6, se scrie  u(26¹²³⁴) = 6;

5)  Dacă  baza puterii este 2 sau are ca ultimă cifră, cifra 2,  atunci ultima cifră a acelei puteri se calculează, ca în exemplele:

Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  2²⁰¹⁵;     b) 252²²³⁴

a) u(2²⁰¹⁵) =  ?

2¹ = 2

2² = 4

2³ = 8

2⁴ = 16

…………………………

2⁵ = 32

…

u(2¹ ) =  2 ;  u(2² ) =  4;     u(2³ ) =  8;     u(2⁴ ) =  6 ;  u(2⁵ ) =  2; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 2.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 503 şi restul 3,  ultima cifra va fi  2³, adică 8. Putem scrie  2015 = 4 ∙ 503 + 3.    Deci :   u(2²⁰¹⁵)  = 8.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 2.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 8.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 6,  fiind ultima cifră a puterii 2⁴.

1. b) u(252²²³⁴) = u(2²²³⁴) = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

6) Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  3²⁰¹⁴;     b) 253¹¹⁴⁵ .

a) u(3²⁰¹⁴) = ?

3¹ = 3

3² =   9

3³ = 27

3⁴ = 81

…………………………

3⁵ = 243

…

u(3¹ ) =  3 ;  u(3² ) =  9;     u(3³ ) =  7;     u(3⁴ ) =  1 ;  u(3⁵ ) =  3; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 3.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 503 şi restul 2,  ultima cifra va fi  3², adică 9.  Putem scrie  2014 = 4 ∙ 503 + 2.    Deci :   u(3²⁰¹⁴)  = 9.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 3.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 7.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 1,  fiind ultima cifră a puterii 3⁴.

b) u(253¹¹⁴⁵) = u(3¹¹⁴⁵)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

7) Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  4¹⁹⁴;     b) 214¹¹⁷ .

1. a) u(4¹⁹⁴) = ?

4¹ =     4

4² =   16

………………………….

4³ =   64

…

u(4¹ ) =  4 ;  u(4² ) =  6;     u(4³ ) =  4;     …

Se observă că  ultima cifră se repetă după două puteri ale lui 4.

Împărţim exponentul puterii la 2, se obţine  câtul 97 şi restul 0,  ultima cifra va fi ultima cifra a puterii  4², adică 6. Putem scrie  194 = 2 ∙ 97 + 0.    Deci :   u(4¹⁹⁴)  = 6.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 2.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 6.

1. b) u(214¹¹⁷) = u(4¹¹⁷)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

8)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  7¹⁴³;     b) 347¹⁴¹ .

1. a) u(7¹⁴³) = ?

7¹ =      7

7² =     49

7³ =   343

7⁴ =  2041

…………………………

7⁵ = … 7

u(7¹ ) =  7 ;  u(7² ) =  9;     u(7³ ) =  3;     u(7⁴ ) =  1 ;  u(7⁵ ) =  7; …

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 7.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 35 şi restul 3,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii  7³ , adică 3. Putem scrie  143 = 4 ∙ 35 + 3.    Deci :   u(7¹⁴³)  = 3.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k este câtul, r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 7.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 3.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 1, care se găseşte ca fiind ultima cifră a puterii 7⁴.

1. b) u(347¹⁴¹) = u(7¹⁴¹)  = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!

9)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  8³⁴¹;     b)1378⁴⁵⁴ .

1. a) u(8³⁴¹) = ?

8¹ =       8

8² =     64

8³ =   512

8⁴ = 4096

…………………………

8⁵ = … 8

Se observă că  ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 8.

Împărţim exponentul puterii la 4, se obţine  câtul 85 şi restul 1,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii  8¹ , adică 8. Putem scrie  341 = 4 ∙ 85 + 1.    Deci :   u(8³⁴¹)  = 8.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k  este câtul,  r este restul  împărţirii exponentului la 4.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 8.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 4.

Dacă restul este 3, atunci ultima cifră va fi 2.

Dacă restul este 0, atunci ultima cifră va fi 6,  care se găseşte ca fiind ultima cifră a puterii 8⁴.

b) u(1378⁴⁵⁴) = u(8⁴⁵⁴) = ?

Se rezolvă, ca în modelul, mai sus prezentat!…

10)  Să calculăm ultima cifră a puterii: a)  9⁵⁹⁸;     b) 549²¹³⁵ .

1. a) u(9⁵⁹⁸) = ?

9¹ =       9

9² =     81

…………………………………..

9³ =   …9

Se observă că  ultima cifră se repetă după două puteri ale lui 9.

Împărţim exponentul puterii la 2, se obţine  câtul 299 şi restul 0,  ultima cifră  va fi  ultima cifră  a puterii 9² , adică 1. Putem scrie  598 = 2 ∙ 299 + 0.    Deci :   u(9⁵⁹⁸)  = 1.

În general:  exponentul  =  4k + r, unde  k  este câtul,  r este restul  împărţirii exponentului la 2.

Dacă restul este 1, atunci ultima cifră va fi 9.

Dacă restul este 2, atunci ultima cifră va fi 1.

1. b) u(549²¹³⁵) = u(9²¹³⁵) = ?

Se rezolvă,ca în modelul, mai sus prezentat!…

…

(Natalia Ghita, Agnita)