Ex. şi prob. rezolvate(1 – 13)

1. Rezolvaţi ecuaţia:  (x – 2)2 – 5(x + 1) = (4 + x)2 .

     Rezolvare:

(x – 2)2 = x2 – 2 ∙ x ∙ 2 + 22 =  x2 – 4x + 4

(a – b)2 =  a2 – 2ab  + b2

(4 + x)2 = 42 – 2 ∙ 4 ∙ x + x2 =  16 + 8x + x2

(a + b)2 =  a2 + 2ab  + b2

(x2 – 4x + 4) – 5(x + 1) = (16 + 8x + x2)

x2 – 4x + 4 – 5x – 5  = 16 + 8x + x2

x2 – 9x – 1  = 16 + 8x + x2

x2 – 9x – 1  –  16 –  8x –  x2  = 0

– 17x – 17  = 0

–17x = 17

x = 17 : (–17)

x   =  – 1;        S = {– 1}

  1. Rezolvaţi, în mulţimea numerelor reale, inecuaţia: (2x – 1)2 – 3x2 ≤ (x + 5) ∙ (x – 5) .

Rezolvare:

(2x – 1)2 = (2x)2 – 2 ∙ 2x ∙ 1 + 12 =  4x2 – 4x + 1

(a – b)2 =  a2 – 2ab  + b2

(x + 5) ∙ (x – 5) = x2 –  5=  x2 – 25

   (a + b) ∙ (a – b) =  a2 –  b

(4x2 – 4x + 1) – 3x2 ≤ x2 – 25

4x2 – 4x + 1  – 3x2 ≤ x2 – 25

4x2 – 4x + 1  – 3x2 – x2 + 25 ≤ 0

(4x2 – 3x2 – x2) – 4x + 26  ≤ 0

– 4x + 26  ≤ 0

– 4x   ≤ – 26    /  (– 4)

x ≥  6,5;   x Є R    =>   x Є [6,5;  ∞);      S = [6,5;  ∞);

  1. Rezolvaţi ecuaţia: 16x – 2  :  8x  =  128.

Rezolvare:

    16 = 24   ;  8 = 23   ;  128 = 27  

   (24) x – 2  :  (23)x  =  27

     24 (x – 2)  :  23x  =  27

24 (x – 2) – 3x    =  27

4(x – 2) – 3x = 7

4x – 8 – 3x = 7

x = 7 + 8

x = 15 ;                 S = {15}

  1. Câţi divizori întregi are numărul natural  360?

Rezolvare:    360 = 23 ∙ 32 ∙ 5 .   Exponenţii:  3; 2 şi 1.

Numărul divizorilor naturali:  (3 + 1) ∙  (2 + 1) ∙ ( 1 + 1) = 4 ∙ 3 ∙ 2  =  24.

Numărul divizorilor întregi:  2 ∙ 24  = 48.

  1. Calculaţi ultima cifră a numărului:   s =  52015 + 72015 – 42015 .

Rezolvare:   u(52015) = 5;

u(71) = 7;   u(72) = 9;  u(73) = 3;   u(74) = 1;   u(75) = 7; …  , ultima cifră se repetă după patru puteri ale lui 7    =>    2015 =  4 ∙ 503 + 3       =>      u(72015) =  3 .

u(41) = 4;   u(42) = 6;  u(43) = 4;   …  , ultima cifră se repetă după două puteri ale lui  4    =>  2015 =  2 ∙ 1007 + 1     =>      u(42015) =  4.

5 + 3 – 4 = 8 – 4  = 4    =>   u(s)  =  4.

6.  În trei coşuri sunt mere. Un sfert din numărul merelor  din primul coş este  cu 380 de mere mai mic decât toate  merele din cele trei coşuri .Un sfert din numărul merelor din al doilea  coş  este  cu 355 de mere  mai mic decât toate merele din cele trei coşuri .Un sfert din numărul  merelor din al treilea coş este cu 365 de mere  mai mic  decât toate merele  din cele trei coşuri . a) Câte mere sunt în fiecare coş? b) Care este diferenţa dintre numărul merelor din al treilea coş şi numărul merelor din primul coş ?   c) Câte mere trebuie să scot din al doilea coş şi să le pun în primul coş, astfel încât în cele două coşuri să se afle un număr egal de mere.

Rezolvare:

a) I. Prin metoda figurativă:  

Primul coş:

Sfertul merelor din coş: |___|

Toate merele din coş: |___|___|___|___|

 Al doilea coş:

Sfertul merelor din coş: |~|

Toate merele din coş: |~|~|~|~|

 Al treilea coş:

Sfertul merelor din coş: |–|

Toate merele din coş: |–|–|–|–|

1)|___|___|___|___|~|~|~|~|–|–|–|–| = |___|…380…|, de unde:

|___|___|___|~|~|~|~|–|–|–|–| = |…380…|,

2) |___|___|___|___|~|~|~|~|–|–|–|–| = |~| …. 355…|, de unde:

|___|___|___|___|~|~|~|–|–|–|–| = | .. 355…|,

3) |___|___|___|___|~|~|~|~|–|–|–|–| = |–| …. 365…|, de unde:

|___|___|___|___|~|~|~|~|–|–|–| = | .. 365…|,

4) 380 – 355 = 25 , se obţine:  |~|  = |___|..25..|

5) 380 – 365 = 15,  se obţine:  |–| = |___|..15..|

Înlocuim 4) şi 5) în 1)(de exemplu):

|___|___|___|___|..25.. |___|..25.. |___|..25..|___|..25..|___|..15..|___|..15..|

|___|..15.. |___|..15..|= |…380…|,

25 + 25 + 25 + 25 + 15 + 15 + 15 + 15  = 4 · 25 + 4 · 15 = 100 + 60 = 160

380 – 160 = 220

220 : 11  = 20( sfertul merelor din primul coş); 20 · 4 = 80(toate merele din primul coş);

20 + 25 = 45( sfertul merelor din al doilea coş); 45 · 4 = 180(toate merele din al doilea coş);

20 + 15 = 35( sfertul merelor din al treilea  coş); 35 · 4 = 140(toate merele din al treilea  coş)

II. Algebric:

Notaţii:

Numărul merelor din primul coş:   a;   numărul merelor din al doilea  coş:   b;  numărul merelor din al treilea coş:   c;

1)  a / 4  = (a +b + c) – 380      =>    a = 4a + 4b + 4c – 1520    =>   3a + 4b + 4c = 1520

b / 4  = (a + b + c) – 355     =>    b  = 4a + 4b + 4c – 1420   =>    4a + 3b + 4c = 1420

c / 4  = (a + b + c) – 365     =>    c  = 4a + 4b + 4c – 1460   =>    4a + 4b + 3c = 1460

–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––-

11a + 11b + 11c = 4400    =>  11 ( a + b + c) = 4400  =>   a + b + c  = 4400 : 11    =>

a + b + c = 400;

a / 4 = 400 – 380    =>   a / 4 = 20    =>   a = 80

b / 4 = 400 – 355   = >   b / 4 = 45   = > b = 180

c / 4 = 400 – 365   = >   c / 4 = 35    = >  c = 140

Răspuns:   80 mere; 180 mere;   140 mere.

b) 140 – 80 = 60;

c) x = numărul merelor ce se scot din primul coş şi se pun în al doilea coş:

180 – x = 80 + x   < = >  180 – 80 = x + x  < = >  2x = 100  < = > x = 50

În primul coş:(80 + 50) mere  = 130 mere; în al doilea coş:  (180 – 50) mere =  130 mere.

7. 10 ouă şi 3 kg de castraveţi costă 11 lei, iar 30 de ouă şi 8 kg de castraveţi costă 31 lei.

Cât costă un ou şi cât costă un kilogram de castraveţi?

Rezolvare:

  1.  Metoda aritmetică

10 ouă  ………………….3 kg castraveţi ……………………11 lei   / ∙3

30 ouă  ………………….8 kg castraveţi ……………………31 lei

–––––––––––––––––––––––––––

30 ouă  ………………….9 kg castraveţi ……………………33 lei

30 ouă  ………………….8 kg castraveţi ……………………31 lei

–––––––––––––––––––––––––––* – *

/                              1 kg castraveţi  ……………………..2 lei

10 ouă  ………………………………….11 lei – 3 ∙ 2 lei  =  5 lei

1 ou …………………5 lei : 10 = 0,5 lei

  1. Metoda algebrică:

Notaţii:

– preţul unui ou:   x lei.

– preţul unui kilogram de castraveţi :   y lei.

10 x + 3 y = 11     =>   10 x = 11 – 3y    =>   x = (11 – 3y) : 10;

30 x + 8 y = 31     =>   30 x = 31 – 8y    =>   x = (31 – 8y) : 30;

(11 – 3y) : 10 = (31 – 8y) : 30  =>  30 ∙ (11 – 3y) = 10 ∙  (31 – 8 y)   =>

330 – 90 y = 310 – 80 y    =>

330 – 310 =   – 80 y + 90 y    =>   10 y = 20   =>   y = 2.

x = ( 11 – 3 ∙ 2) : 10    =>  x = 5 : 10   => x = 0 , 50.

Răspuns:  Un ou costă 0,50 lei, iar un kilogram de castraveţi costă 2 lei.

8.Se consideră numerele naturale a = 7n + 12  şi b = 4n + 7   . Arătaţi că a şi b sunt prime între ele.

Rezolvare:  (a; b) = 1 ?

Fie d un divizor comun  al numerelor a şi b    =>    d / (7n + 12)  şi  d/ (4n + 7)    =>

d / 4 ∙ (7n + 12)  şi  d / 7 ∙ (4n + 7)     =>     d / (28n + 48)  şi  d/ (28n + 49)      =>

d / [(28n + 49) – (28n + 48)]      =>  d / (28n + 49 – 28n – 48)      =>    d / 1     =>   d = 1

=>      (a; b) = 1    =>   a  şi  b numere naturale prime între ele.

 9.  Aflaţi valorile naturale ale lui n,  ştiind că raportul (3n + 2) / (n – 2) are valori în mulţimea numerelor  întregi.

Rezolvare:

(3n + 2) / (n – 2) Є Z    =>   (3n + 2 – 6 + 6) / (n – 2) Є Z    =>   (3n  – 6 + 8) / (n – 2) Є Z   => [(3n – 6) + 8] / (n – 2)  Є Z   => [3(n –2) / (n – 2)+ 8/(n – 2)]  Є Z      =>                         [3 + 8/(n – 2)] Є Z     => [8/(n – 2)] Є Z    =>   n – 2  Є D(8)  = {± 1;   ± 2;  ± 4; ± 8} .

n – 2 =    1   = >     n = 1 + 2     =>     n = 3;

n – 2 =    2   = >     n = 2 + 2     =>     n = 4;

n – 2 =    4   = >     n = 4 + 2     =>     n = 6;

n – 2 =    8   = >     n = 8 + 2        =>     n = 10;

n – 2 = –1    = >     n = –1 + 2      =>     n = 1;

n – 2 = – 2   = >     n = – 2 + 2     =>     n = 0;

n – 2 = – 4   = >     n = – 4 + 2     =>     n =   – 2 ;

n – 2 = – 1   = >     n = – 8 + 2     =>     n = – 6

Răspuns:    n  Є { 3; 4; 6; 10; 1; 0}.

10. Arătaţi că numărul   a =  (2√5 –  3√2) (2√5 –  5√2) (2√5 –  7√2)( 2√5 –  9√2) + 64  este pătrat perfect.

        Rezolvare:

        a  =  (2√5 –  3√2) (2√5 –  5√2) (2√5 –  7√2)( 2√5 –  9√2) + 64  =

[(2√5 –  3√2)  (2√5 –  9√2)] [(2√5 –  5√2)( 2√5 – 7√2)] + 64   =

(20 –  18√10 – 6√10  + 54) (20 –  14√10 – 10√10  + 70) + 64 =

(74 –  24√10) (90 –  24√10) + 64 =

(74 –  24√10) [(74 –  24√10) + 16 ] + 64 =  (74 –  24√10)2 +16(74 –  24√10)] + 64  =

(74 –  24√10)2 + 2 ∙ (74 –  24√10)] ∙  8 + 82  =   (74 –  24√10 + 8)2 =  (82 –  24√10 )2

11. Impartind numarul natural a, succesiv, la  36;  48 si 108 se obtin resturile 31; 43, respectiv 103.

a) Aflati cel mai mic numar natural a, care indeplineste conditiile date.

b) Daca a = 427,  aflati caturile impartirilor.

c)  In conditiile date, aflati numerele naturale a, stiind ca 3500 < a < 5000.

Rezolvare:

a = b ∙ c + r ,    0 ≤ r < b ,    a = ?    b ∈ {36; 48; 108},  c ∈ {x; y; z} (x, y, z caturile impartirilor, diferite de zero),  r ∈ {31; 43; 103}.

1) a = 36∙x + 31   / + 5   => a + 5  = 36∙x + 36   =>  a + 5 = 36(x + 1)  => 36/(a + 5)

2) a = 48∙y + 43  / + 5   => a + 5  = 48∙y + 48   =>  a + 5 = 48(y + 1)  => 48 /(a + 5)

3) a = 108∙z + 103  / + 5   => a + 5  = 108∙z+108   =>  a+5 = 108(z+1)  => 108 /(a+5).

Din 1), 2) si 3)   =>  a + 5 = [36; 48; 108] ∙ k,    k∈ N*

36= 22 ∙ 32 ;  48 = 24 ∙ 3 ;   108 = 22 ∙ 33 ;   [36; 48; 108] = 24 ∙ 33 = 16 ∙ 27 = 432    =>

a + 5 = 432k     =>  a = 432k – 5

Cel mai mic se obtine pentru k = 1:

a = 432 – 5    => a = 427.

b) 427 = 36x+31   =>  427 – 31 = 36x    = >   36x = 396  => x = 396 : 36  => x =11;

427 = 48y+43   =>  427 – 43 = 48y    = >   48y = 384     =>y = 384 : 48   => y = 8;

427 = 108z+103   =>  427-103 = 108z    = >  108z = 324   => z =324 : 108   => z = 3.

c)  3500 < a < 5000,    a = ?             a = 432k – 5                                                                    3500 = 432 ∙ 8 + 44

k = 8     =>   a = 432 ∙ 8 – 5    => a = 3456-5   =>  a = 3451;     3500<3451<5000 (F)

k = 9     =>   a = 432 ∙ 9 – 5    => a = 3888-5   =>  a = 3883;      3500<3883<5000 (A)

k = 10     =>   a = 432∙10 – 5    => a = 4320-5   =>  a = 4315;    3500<4315<5000 (A)

k = 11     =>   a = 432 ∙ 11 – 5    => a = 4752-5   =>  a = 4747;    3500<4747<5000 (A)

k = 12     =>   a = 432 ∙ 12 – 5    => a = 5184-5   =>  a = 5179;    3500<5179<5000 (F)

a ∈ {3883; 4315; 4747}

12. Daca elevii unei clase se aseaza cate trei intr-o banca,  un elev ramane  in picioare. Daca elevii se aseaza cate patru intr-o  banca, atunci raman doua banci libere. Cate banci si cati elevi sunt in clasa?

Rezolvare:

Nr. elevilor:     x

Nr. bancilor:    y

x = 3y + 1

x = 4(y – 2)    =>  4(y – 2) = 3y + 1     => 4y – 8 = 3y + 1    =>  4y – 3y = 1 + 8    => y = 9

x = 3  ∙ 9 + 1 = 27 + 1 = 28

Raspuns:   28 de elevi si 9 banci.

13. Daca elevii unei clase se aseaza cate doi intr-o banca,  un elev ramane in picioare. Daca elevii se aseaza cate trei intr-o  banca si doi elevi stau intr-o banca, atunci raman trei banci libere. Cate banci si cati elevi sunt in clasa?

Nr. elevilor:     x

Nr. bancilor:    y

x = 2y + 1

x = 3(y – 4)  + 2   =>  3(y – 4)  + 2 = 2y + 1     => 3y – 12 + 2 = 2y + 1    =>  3y – 2y = 1 – 2 + 12    => y = 13 – 2     =>     y = 11.

x = 3(11 – 4)  + 2  = 3  ∙ 7 + 2 = 21 + 2 = 23

Raspuns:   23 de elevi si 11 banci.

14. …

Prof. Natalia Ghiţă, Agnita, Sibiu

12 răspunsuri la Ex. şi prob. rezolvate(1 – 13)

  1. Puiu Andra zice:

    Imi puteti rezolva exercitiul urmator?
    Ce valori au x si y daca x/y = y,x .
    este un exercitiu pentru clasa a V-a.

  2. nataliaghita zice:

    5/2 = 2,5 = > x = 5 si y = 2

  3. Bianca zice:

    Îmi puteți rezolva exercițiul următor :
    3×(x+3,2)+2×(x-2,4)<74

  4. parvu adelin zice:

    Rezolvati in numerele rationale ecuatiile:
    A) 3(x-5)-(x+7)=2(x-2)

  5. birtea zice:

    Foarte utile aceste exercitii!

  6. nicoletaozg zice:

    Dar asta cum se rezolva?? (-5)•(+6)+(-4)•(-8)?? Va roog ajutati-ma

  7. nataliaghita zice:

    (-30) + (+ 32) = -30 + 32 = +(32 – 30) = + 2 = 2

  8. marius zice:

    cum se rezolva ex. acesta?
    daca ab+ac-az=60,a=10,b+c=z nu a-m gasit nici-o varianta

  9. Darius zice:

    Imi puteti rezolva si mie va rog exercitiul urmator ?
    4a ori x + 3b ori x – 2c ori x = 80
    4a+3b=2c+16
    Aflati x !

  10. Delia zice:

    Cum rezolv:
    4/8+9/24+15/36
    Trebuie sa le simplific ca sa imi dea un rezultat..

Lasă un răspuns la Darius Anulează răspunsul

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s