Geom. în spaţiu:distanţa; prisma; piramida; trunchiul de piramida regulata; …

 Distanţa

1.   Prin vârful  A al triunghiului dreptunghic   ABC  se duce  perpendiculara AM, pe planul triunghiului, astfel  încât AM = 6 cm. Stiind că  AB = 12 cm  şi AC = 16 cm, să se afle:          a)   lungimea ipotenuzei  BC;                                                                                                          b)  distanţa de la M la B;                                                                                                                   c) distanţa  de la M la  dreapta BC.

2.   Fie triunghiul  dreptunghic MNP cu măsura unghiului  M de 90°, [MH]- ínălţimea corespunzătoare  ipotenuzei, H  aparţine laturii (NP); PS este o dreaptă perpendiculară pe planul (MNP),  SP = 12 cm. Să se afle:                                                                                              a)   Aria triunghiului MNP;                                                                                                            b)   distanţa de la S la dreapta MN;                                                                                              c)   distanţa de la S la dreapta MH.

3. Fie triunghiul isoscel ABC cu [AB] ≡ [AC],  AB = 24 cm,  BC = 36 cm; [AN] şi [BP] sunt două ínălţimi ale triunghiului, N aparţine laturii (BC),  P aparţine laturii (AC). Punctul M este exterior planului (ABC),  astfel încât  dreapta MC este perpendiculară pe planul (ABC), MC = 24 cm. Calculaţi:                                                                                                                     a)   aria triunghiului  ABC;                                                                                                               b) distanţa de la M la dreapta AN;                                                                                                  c)  distanţa de la M la dreapta BP.

4. Fie triunghiul echilateral ABC cu AB = 16√3 / 3 cm,  BN┴AC,  N Є AC.    În punctul M, mijlocul  laturii BC,  se   construieşte perpendiculara  VM,  pe planul  triunghiului, astfel încât VM = 6 cm.  Să se afle:                                                                                                          a)   distanţa de la  V la A;                                                                                                               b)   distanţa  de la V la dreapta AC;                                                                                               c)  distanţa de la  V la dreapta  BN.

5.  Triunghiul  ABC este echilateral cu AB = 18√3 cm.   Punctul O este centrul de greutate    al  triunghiului ABC, iar punctul H este  este mijlocul laturii AB.  Dreapta  SO este perpendiculară  pe  planul triunghiului ABC, astfel încât SO =  12 cm.                             a) Arătaţi că  raportul dintre distanţa  de la S la H  şi distanţa de la S la C este egal     cu 5√13 /26.                                                                                                                                           b) Calculaţi distanţa de la  C  la planul (ABS).

6.  Patrulaterul ABCD este un pătrat cu latura de  8 cm.  Dreapta AS este perpendiculară pe planul pătratul astfel încât  SA =  12 cm.  Paralela prin B la dreapta AC intersectează dreapta  AD în E.                                                                                                                          a)      Arătaţi că distanţa de la  S la B este egală cu distanţa de la  S la E.                            b)      Aflaţi distanţa de la  S la C.                                                                                                c)      Aflaţi distanţa de la  S la BD

7.   Patrulaterul  ABCD este un pătrat.  Punctul M este mijlocul  laturii AD.  DreaptaMN este  perpendiculară pe planul pătratului, MN = 10 cm.  Distanţa de la  N la  B este de 15 cm.  Aflaţi:                                                                                                                                     a)      perimetrul şi aria pătratului ABCD;                                                                                 b)      distanţa de la N la dreapta  BC;                                                                                           c)      distanţa de la N la BD.

8.   Patrulaterul MNPQ este un pătrat,  MP ∩ NQ = {O}. Dreapta  SO este perpendiculară  pe planul  pătratului, SO = 18 cm, iar distanţa de la S la  NP este de 30 cm.  Prin vârful P se construieşte  paralela   la   NQ, care întâlneşte MQ în R.  Aflaţi:                                          a)      apotema pătratului;                                                                                                           b)      perimetrul şi aria pătratului;                                                                                            c)      distanţa de la S la N;                                                                                                           d)      distanţa de la S la R.

9.   Triunghiul ABC este isoscel  cu [AB] ≡ [AC],  BC = 24 cm,  AH ┴ BC,   H Є (BC).            Punctul O  este   centrul de greutate al triunghiului ABC,  OH = 3 cm.  Dreapta  VO este perpendiculară pe  planul triunghiului ABC, VO = 4 cm.  Aflaţi:                                           a)      aria şi perimetrul triunghiului ABC;                                                                                b)      distanţa de la V la BC;                                                                                                        c)      distanţa de la O la planul (VBC);                                                                                      d)      distanţa de la O la planul (VAC).

10. Triunghiul ABC este dreptunghic cu m(<A) = 90°.   Latura AC este inclusă într-un plan α.  Distanţa de la B la planul α este  BD, unde  D Є α şi  BD = 8 cm.  Unghiul pe care îl face  latura  AB cu planul  α este de 45°.  Punctul  M este mijlocul laturii  BD şi  N este mijlocul laturii AC.                                                                                                                                      a)      Calculaţi perimetrul şi aria triunghiului ABC.                                                                 b)      Arătaţi că triunghiul ACD este dreptunghic.                                                                   c)      Calculaţi lungimea  MN.

11. Patrulaterul ABCD este un romb cu AB = 12 cm şi m (< BAD) = 60°.  Latura  AB a rombului  este  inclusă într-un plan α (C şi D nu aparţin planului α ). Distanţa de la C la planul    α  este  CM, unde   M aparţin planului  α.  Distanţa de la  B la M este de  6√3 cm.     a)      Aflaţi aria rombului  ABCD.                                                                                               b)      Aflaţi măsura unghiului  CBM.                                                                                          c)      Dacă N este proiecţia punctului D pe planul α, calculaţi distanţa de la  B la N.          d)      Calculaţi perimetrul şi aria patrulaterului  MNAB.                                                       e)      Aflaţi distanţa de la  M la A.

12. Rombul MNPQ are  MN = 26 cm şi NQ = 20 cm.  Vârful P al rombului se află într-un plan  α, astfel încât  NQ || α. Distanţa de la M la  α este  ME,   E Є α, distanţa de la Q la α este QF,  F Є α şi distanţa de la N la α este  NH, H Є  α,  NH = 10 cm.                                    a)  Calculaţi  perimetrul şi aria rombului MNPQ.                                                                        b)  Aflaţi valoarea sinusului unghiului dintre planul  α şi planul rombului MNPQ, .               c)  Arătaţi că  ME = 2 NH.                                                                                                              d)  Calculaţi petrimetrul şi aria patrulaterului  EHPF.

13. …

Natalia Ghita, Agnita

PRISMA:

 1. Un cub are muchia de 8 cm. Să se afle:  a) diagonala unei feţe;   b) diagonala cubului;  c) aria unei feţe, aria laterală, aria totală şi volumul.

2.  Diagonala unei feţe a unui cub este de 12√2 cm.  Să se afle:  a) muchia cubului;            b) diagonala cubului; c) aria laterală, aria totală şi volumul.

3.  Diagonala unui cub este de  6√6 cm. Aflaţi:  a) muchia cubului;  b) diagonala unei feţe; c) aria laterală, aria totală şi volumul.

4. Aria laterală  a unui cub este de  25 cm2. Aflaţi:   a)  muchia cubului;    b) diagonala unei feţe;   c)  aria totală şi volumul.

5. Aria totală a unui cub este de 294 cm2. Aflaţi: a) muchia cubului;  b) diagonala unei feţe şi diagonala cubului;  c) aria laterală şi volumul.

6. Un cub are volumul de 729 cm3. Aflaţi:  a) diagonala unei feţe şi diagonala cubului;       b) aria laterală şi aria totală.

7. Cubul ABCDA′B′C′D′ are AB = 14 cm.   a)  Aflaţi aria laterală, aria totală şi volumul cubului.   b) Calculaţi distanţa de la  vârful  A  la  BD′;  c) Calculaţi  distanţa de la A′ la M, mijlocul laturii CD.

8.  Se dă cubul MNPQM′N′P′Q′.   Punctul  E Є [N′P′], astfel încât  N′E : N′P′ = 1: 4  şi   QE= 2√41  cm.     Aflaţi:   a) muchia cubului;   b) aria patrulaterului  N′P′QM;                 c) aria patrulaterului  EP′QF, ştiind că F este mijlocul laturii N′M′.

9.Cubul  ABCDEFGH  are aria totală de  1944 cm². Punctul M este mijlocul laturii EF. Aflaţi:   a) aria laterală a cubului;                                                                                                    b) distanţa de la punctul M la vârful C;                                                                                         c)  sinusul unghiului pe care îi face  diagonala  EC cu planul  (ABC);                                        d)  aria triunghiului  AMC.

10. Cubul  LMNOPRST are muchia de 6 cm. Punctul A este mijlocul laturii  PT, iar punctul B este   mijlocul laturii  NO. Calculaţi:                                                                                            a)      lungimea segmentului  [PN];                                                                                                 b)      aria laterală şi volumul;                                                                                                          c)      cosinusul unghiului dintre  AO şi RM;                                                                                  d)      tangenta unghiului dintre AB şi planul pătratului  LMNO;                                               e)      raportul dintre aria triunghiului AB şi aria triunghiului ABS.

11.Cubul ABCA′B′C′D′ are muchia de 18 cm.                                                                              Ştiind că  A′B∩AB′ = {E}, EF ┴ AC′; F Є [AC′],    să se arate ca:                                             a)      FE = 3√6 cm;                                                                                                                            b)      FE ┴ A′B.

12. …

Natalia Ghita, Agnita

 1.  Aflaţi aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 10 cm, lătimea de 8 cm şi înălţimea de 4 cm.

2.   Un paralelipiped dreptunghic are lungimea de 12,3 cm, lăţimea de 4,5 cm şi grosimea de    10,4 cm. Aflaţi aria laterală.

3.   Un paralelipiped dreptunghic are aria laterală de 281,6 cm², lungimea de 14 cm şi lăţimea de  8 cm. Aflaţi înălţimea paralelipipedului dreptunghic.

4.  Aria laterală a unui paralelipiped dreptunghic este de 390 dm².      Ştiind că lungimea este de    12,5 dm, înălţimea de 10 dm, să se afle lăţimea paralelipipedului dreptunghic.

5.   Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile de 12 cm, 8 cm şi 6 cm. Aflaţi aria totală.

6.   Aria totală a unui paralelipiped dreptunghic este 819 cm².  Ştiind că lungimea este de 15 cm, lăţimea de 12 cm, să se afle înălţimea paralelipipedului dreptunghic.

7.   Un paralelipiped dreptunghic are aria totală de  570 cm² şi aria bazei este de 48 cm². Aflaţi aria laterală a paralelipipedului dreptunghic.

8.   Aflaţi volumul unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 8 cm,  6,2 cm şi 3,5 cm.

 9.   Volumul unui  paralelipiped dreptunghic este de 1608 cm³.  Ştiind că lungimea este de 13,4 cm, lăţimea de 10 cm, aflaţi grosimea paralelipipedului drptunghic.

10.  Aflaţi diagonala unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile:                                      a) 8 cm, 6 cm şi 4 cm;  b) 10 cm,  9 cm şi 5 cm;  c)  2,5√23 dm; 12,5 dm şi 10 dm.

11.   Să se afle aria laterală, aria totală, volumul şi diagonala ale unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 12 cm, lăţimea de 6 cm şi înălţimea de 2 cm.

12.   Suma tuturor dimensiunilor unui paralelipiped dreptunghic este egală cu 116 cm. Ştiind că diagonala paralelipipedului dreptunghic are 17 cm, să se afla aria totală.

13.  Un paralelipiped dreptunghic are diagonala de  5√13 cm şi aria totală de 636 cm². Aflaţi suma tuturor dimensiunilor paralelipipedului dreptunghic.

14.   Să se afle diagonala unui paralelipiped dreptunghic, ştiind că suma dimensiunilor ce pleacă dintr-un vârf al paralelipipedului este egală cu 36 cm şi aria totală este de 846 cm².

15. Paralelipipedul dreptunghic  ABCDEFGH are lungimea AB = 9 cm, lăţimea  BC = 6 cm  şi  m(<CHD) = 60°.   Aflaţi:                                                                                                              a)  lungimile   AE şi FD;                                                                                                                   b)  aria totală şi volumul;                                                                                                                   c)   distanţa de la  A la FD;                                                                                                               d)   măsura unghiului  dintre  CG şi EB.

16.  Paralelipipedul dreptunghic  ABCDA′B′C′D′  are lungimea  AB,  lăţimea  BC  şi înălţimea  BB′  direct proporţionale cu numerele 5;  4  şi  3. Aria laterală a paralelipipedului dreptunghic   este de  1944 cm² . Punctul O este centrul   bazei  ABCD, iar O′  este centrul  feţei  CDD′C′.  Calculaţi:                                                                                                                    a)      AB,  BC,  BB′ şi  B′D;                                                                                                                 b)      aria totală a paralelipipedului dreptunghic;                                                                           c)      distanţa de la O la O′;                                                                                                              d)      distanţa dintre  O′ şi centrul feţei BCC′B′;                                                                          e)      cotangenta unghiului dintre  B′D′ şi BC.

16.Paralelipipedul dreptunghic  ABCDEFGH are suma dimensiunilor de 30 cm,  [AE] ≡ [AD], AD / AB =  3 / 4,  FH ∩ EG = {M},  CH ∩ GD = {N},  AC ∩ BD = {P} şi  AF ∩ BE = {Q}. Aflaţi:                                                                                                                                                   a)      dimensiunile paralelipipedului dreptunghic;                                                                       b)      aria şi volumul paralelipipedului dreptunghic;                                                                    c)      perimetrul şi aria patrulaterului  MNPQ.

18. …

Natalia Ghita, Agnita

1.  O prismă triunghiulară regulată dreaptă  are latura bazei de 12 cm şi înălţimea de 13 cm.  Să se afle:                                                                                                                                   a)    perimetrul şi aria bazei;                                                                                                            b)   aria laterală, aria totală şi volumul prismei.

2.   Aria bazei unei prisme triunghiulară regulată dreaptă este de 16√3 cm².  Ştiind  că  înălţimea  prismei este de  8 cm, să se afle:                                                                              a)      perimetrul bazei;                                                                                                                b)      aria totală şi volumul prismei.

3.   O prismă triunghiulară regulată are aria laterală de 294  cm² şi înălţimea de două ori mai mare   decât latura bazei. Să se afle:                                                                                 a)       latura bazei şi înălţimea prismei;                                                                                    b)      volumul prismei.

4.   Raza cercului circumscris bazei unei prisme triunghiulară regulată dreaptă este de 4√3 cm.  Ştiind că volumul prismei este de  432√ 3  cm³,  să se afle:                                             a)   raza cercului înscris bazei;                                                                                                       b)   apotema bazei;                                                                                                                          c)   aria laterala şi aria totală.

5.  Prisma triunghiulară  regulată dreaptă  ABCDEF,  cu bazele reprezentate de triunghiurile echilaterale  ABC  şi DEF,   are  AB = 8√3  cm  şi AD = 18 cm.   Punctul M este mijlocul laturii  FC  şi N este mijlocul   laturii   AB.                                                                  a)      Să se calculeze aria  laterală şi volumul prismei.                                                            b)      Să se arate că triunghiul  FMN este echivalent cu triunghiul  MNC.                          c)      Să se afle sinusul unghiului   FNC.

6. Într-un prismă triunghilară regulată  ABCA′B′C′, cu bazele reprezentate de   triunghiurile  echilaterale  ABC  şi  A′B′C′, punctul O este  centrul feţei  ACC′A′  şi O′ este  centrul feţei  BCC′B′.Ş tiind că  OO′ = 4 cm şi C′B = 8√5  cm, să se afle:                                 a)      lungimile  AB şi BB′;                                                                                                                b)      aria laterală şi   volumul prismei;                                                                                          c)      tangenta unghiului dintre  AO′  şi planul triunghiului ABC;                                              d)      aria patrulaterului  ABO′O.

7.   Prisma triunghiulară regulată  dreaptă  MNPQRS, cu bazele reprezentate de  triunghiurile echilaterale  MNP şi  QRS, are aria totală  de  162∙(2√7 + √3) cm² şi aria laterală de   324√7 cm².  Să se afle:                                                                                               a)      lungimile  MN şi MQ;                                                                                                              b)      volumul prismei;                                                                                                                      c)      distanţa între  punctele  Q şi N;                                                                                             d)      perimetrul şi aria triunghiului  PQR.

8.  Se consideră  prisma triunghiulară regulată  dreaptă  ABCDEF, cu bazele  reprezentate de    triunghiurile echilaterale ABC  şi  DEF.  Punctul M este mijlocul laturii  AC,   BM = 12√3 cm şi  m(< BME) = 60°.  Să se afle:                                                                                      a)   lungimile   AB şi BE;                                                                                                                   b)   aria laterală şi volumul prismei;                                                                                               c)   aria triunghiului  MEF;                                                                                                              d)   măsura unghiului  dintre  MF şi BE;                                                                                       e)   sinusul unghiului  AEM.

9.   Prisma triunghiulară regulată  dreaptă  ABCA′B′C′ are bazele reprezentate  de triunghiurile echilaterale ABC  şi  A′B′C′ .  Punctul  O′ este centrul  patrulaterului  BCC′B′,  punctul   D este  mijlocul laturii  BC,  m(<AA′O′) = 60° şi    A′O′ =  12 cm.                             i)  Stabiliţi natura  patrulaterului  AA′O′D.                                                                                   ii)      Să se afle:                                                                                                                                  a)      lungimile  AB şi  AA′;                                                                                                              b)      perimetrul şi aria  patrulaterului;                                                                                         c)      tangenta unghiului plan al unghiului diedru dintre planul  (A′CB′) ş i planul  (ABB′); d)      distanta de la C′ la planul (A′CB′).

10.  Se consideră  prisma triunghiulară regulată  dreaptă  ABCDEF, cu bazele reprezentate de    triunghiurile echilaterale ABC  şi  DEF.  Se ştie că  M este mijlocul laturii  EF,    m(<AMD) = 60° şi distanţa de la D la planul  (AEF) este de 12 cm.  Să se afle:                         a)      lungimile  AB şi AD;                                                                                                                b)      aria triunghiului  FBM;                                                                                                           c)      măsura unghiului plan al unghiului diedru dintre planele (AEF) şi (CEF);                     d)      aria triunghiului  MAB.

11.   O prismă patrulateră regulată dreaptă  are latura bazei de 10 cm şi înălţimea de 4,5  cm. Aflaţi   aria laterală.

12.   O faţă laterală a unei prisme patrulateră regulată dreaptă are  aria de 30 cm. Ştiind că înălţimea  prismei este de  12 cm, să se afle aria laterală şi  latura bazei.

13.   Aria laterală a unei prisme patrulateră regulată dreaptă  este de 416 cm². Ştiind că latura bazei  este de  8 cm, să se afle înălţimea şi aria totală.

14.   O prismă patrulateră regulată are muchia bazei de 2,6 cm şi  înălţimea de 10, 5 cm.  Să se afle  aria laterală, aria totală şi volumul prismei.

15.   Aria totală a unei prisme patrulateră regulată dreaptă este de  868 cm², iar aria laterală este de   476 cm². Să se afle:                                                                                           a)   muchia bazei şi muchia laterală;                                                                                             b)   volumul prismei.

16.   Aria laterală a unei prisme  patrulateră regulată dreaptă  este de  349,6 cm², iar aria bazei este de 84,64 cm².  Să se afle:                                                                                              a)  latura bazei şi înălţimea prismei;                                                                                             b)  volumul prismei

 17.   Volumul unei prisme patrulateră regulată dreaptă este de 1250 cm³, iar aria laterală este de 500 cm².   Să se afle:                                                                                                         a)   latura bazei şi înălţimea;                                                                                                          b)   aria totală.

18.   Prisma patrulateră regulată dreaptă  ABCDA′B′C′D′  are bazele reprezentate de pătratele  ABCD  şi  A′B′C′D′ .  Punctul O este centrul pătratului  ABCD  şi  punctul M este mijlocul laturii  BC.  Ştiind că  OM = 16 cm  şi   C′M = 20 cm, să se afle:                                  a) lungimile  AB şi CC′;                                                                                                                     b) aria laterală,. aria totală şi volumul;                                                                                          c)  aria triunghiului   A′C′M.

 19.  O  prismă  patrulateră regulată dreaptă  ABCDEFGH, cu bazele reprezentate de pătratele ABCD  şi EFGH,  are  AC = 16 √2 cm şi  AD = 2 ∙AE. Punctul M este mijlocul laturii  FG, Punctul N  este mijlocul laturii BC.  Să se afle:                                                          a)      lungimile  AD şi AE;                                                                                                                 b)      aria laterală, aria totală şi volumul;                                                                                       c)      distanţa de la N la planul (AMD);                                                                                          d)      sinusul unghiului   FDG şi cosinusul unghiului  FAM.

20.  Prisma  patrulateră regulată dreaptă MNPQRSTU  are bazele reprezentate de pătratele MNPQ  şi  RSTU. Aria triunghiului  NRP este de 96 cm²   şi     NP =12 cm.            i) Să  se afle:                                                                                                                                       a)       lungimile RN şi  RM;                                                                                                              b)      aria laterală, aria totală şi volumul;                                                                                       c)       distanţa de la N la RP;                                                                                                            d)      perimetrul şi aria  triunghiului  RNT.                                                                                   ii)      Arătaţi că  distanţa de la S la planul (RNT) este mai mică decât  7 cm 

21.O prismă hexagonală regulată dreaptă are latura bazei se 12 cm şi înălţimea de 13 cm. Să se afle aria laterală, aria totală şi volumul.

22. Raza  cercului înscris într-o  bază a unei  prismei hexagonală regulată dreaptă este de 5√3 cm.    Ştiind că  înălţimea prismei este de 8 cm, să se afle raza cercului circumscris bazei, aria laterala şi  volumul.

23. Volumul unei prisme hexagonală regulată dreaptă este de  6912√3 cm³. Ştiind că  înălţimea  prismei este de 8 cm, să se afle latura bazei şi aria  laterală.

24.  O prismă hexagonală regulată dreaptă are aria totală de  7,44 ∙ (35 + 62√3) cm²  şi aria laterală  este de 260,4 cm². Să se afle latura bazei, apotema bazei, înălţimea şi volumul.

25.    O prismă hexagonală regulată dreaptă are aria  bazei de 294√3  cm² şi înălţimea de două ori mai  mică decât latura bazei.  Să se afle latura bazei, înălţimea,  aria laterală şi volumul.

26.  Prisma hexagonală regulată dreaptă ABCDEFA′B′C′D′E′F′,  cu bazele reprezentate de hexagoanele regulate ABCDEF  şi A′B′C′D′E′F′, are BE = 12 cm şi A′B = 10 cm. Să se afle:  a) lungimile  AB, A′A şi D′A;    b)  perimetrul şi aria hexagonului regulat ABCDEF.  c)  aria  laterală şi volumul prismei;  d)  distanţa de la B la  D′A;  e) tangenta unghiului  E′AA′.

27.     Prisma hexagonală regulată dreaptă ABCDEFGHIJKL,  cu bazele reprezentate de hexagoanele regulate ABCDEF  şi GHIJKL, are CF = 24 cm şi       cos(< CFI) = 3/5.  a)      Aflaţi  lungimile AB,  IF şi  IC.  b)      Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul prismei.  c)      Calculaţi aria patrulaterului  ADJG.   d)      Aflaţi  distanţa de la vârful G  la mijlocul laturii  DE.   e)      O furmică şi o buburuză pleacă, în acelaşi moment, din vârful G şi, după un anumit timp, ajung de unde au plecat, în G. Furnica merge pe traseul  G – A – F – E – K – J – G, iar buburuza merge pe traseul  G – J – D – A – G.   Comparaţi distanţa parcursă de furnică cu distanţa parcursă de buburuză.

28.     Prisma hexagonală regulată dreaptă ABCDEFA′B′C′D′E′F′,  cu bazele reprezentate de hexagoanele regulate ABCDEF  şi A′B′C′D′E′F′, are aria laterală de 16200 cm² şi m(< C′AC) = 60°.                                                                                                                                       a)      Aflaţi  lungimile AB şi A′A.                                                                                                      b)      Calculaţi volumul prismei  ABCDEFA′B′C′D′E′F′.                                                              c)      Calculaţi aria laterală şi volumul corpului  FBCEF′B′C′E′.                                                 d)      Aflaţi distanţa de la B la B′D şi distanţa de la  D la B′E.

29.  Prisma hexagonală regulată dreaptă MNPQRSM′N′P′Q′R′S′,  cu bazele  reprezentate de hexagoanele regulate MNPQRS  şi M′N′P′Q′R′S′,  are aria laterală de 180 cm² şi volumul de 675 cm³.   Să se afle:                                                                                                  a)      lungimile  MN,  MM′  şi  P′S;                                                                                                 b)      raza cercului circulscris bazei şi apotema bazei;                                                                  c)      raportul dintre aria  triunghiului  OQ′Q, unde {O}= NR ∩ PS şi  aria triunghiului  MQ′Q; d)      cotangenta unghiului  R′PR;                                                                                                   e)      măsura unghiului plan al unghiului diedru dintre planele  (P′SP) şi (P′RP).

30. …

Prof. Natalia  Ghită,  Agnita

PIRAMIDA:

1.      Un tetraedru regulat are înălţimea unei feţe de 8√3 cm. Să se afle  aria laterală.

2.      Aria laterală a unui tetraedru regulat  este de 48√3 cm². Să se afle suma lungimilor tuturor muchiilor tetraedrului.

3.      Să se afle aria totală a unui tetraedru regulat, ştiind că apotema tetraedului este de 12√3cm.

4.      Un tetraedru regulat are aria totală de 108√3 cm². Să se afle raza cercului înscris într-o faţă a tetraedrului.

5.      Perimetrul bazei unui tetraedru regulat este de 90 mm. Să se afle aria laterală, aria totală şi volumul tetraedrului.

6.      Înălţimea unui tetraedru regulat este de 6 cm. Aflaţi volumul tetraedrului.

7.      Tetraedrul regulat  ABCD are volumul de 128√2 / 3 cm³. Să se afle:                             a)      muchia tetraedrului; b)      aria laterală şi aria totală; c)      cosinusul unghiului plan al unghiului diedru dintre planele feţelor ABC şi  DBC.

8.      O piramidă triunghiulară regulată VABC, cu baza reprezentată de triunghiul echilateral ABC, are toate  muchiile de lungime  a . Punctul M este mijlocul laturii AB.  Calculaţi:       a)      perimetrul şi aria bazei;  b)      lungimea segmentului VM;  c)      aria laterală, aria totală şi volumul;  d)      perimetrul şi aria triunghiului  VCM;  e)      distanţa de la M la mijlocul muchiei VC.

9.      O piramidă triunghiulară regulată SABC are toate muchiile congruente. Punctul H este mijlocul muchiei  BC. Ştiind că distanţa de la H la muchia SA este de 6√2, să se afle:         a)      lungimea muchiei AB;  b)      aria laterală, aria totală şi volumul;  c)      cosinusul unghiului dintre muchia SB şi planul triunghiului ABC.   d)      tangenta unghiului  SHA.

10.  Piramida triunghiulară regulată VABC, cu baza triunghiul echilateral ABC, are AB = 18 cm şi   VA = 15 cm. Să se afle aria laterală, aria totală şi volumul.

11. Se consideră piramida triunghiulară regulată SMNP, unde  S este vârful piramidei, H este  mijlocul laturii MN,  O este  centrul triunghiului  ABC, SH = 16 cm şi SM = 20 cm.Să se afle:                                                                                                                                                a)  lungimile  MN şi SO;                                                                                                                  b)  aria laterală, aria totală şi volumul;                                                                                          c)  distanţa de la H la muchia laterală  SP;                                                                                    d)  cosinusul unghiului plan al unghiului diedru dintre planele triunghiurilor SMP şi SNP.

12. Corpul VABC  este o piramidă triunghiulară regulată cu vârful V. Măsura unghiului plan al unghiului diedru dintre planele triunghiurilor  VAB şi ABC este de 60°, iar   apotema bazei este de 4√3 cm.                                                                                                                     a)      Arătaţi că înălţimea piramidei are lungimea de două ori mai mică decât lungimea laturii bazei.                                                                                                                                                b)      Calculaţi aria laterală şi volumul.                                                                                           c)      Se secţionează piramida cu un plan (A′B′C′),paralel cu baza, situat la două treimi din înălţime faţă de bază. Aflaţi distanţa dintre planele (A′B′C′) şi (ABC).

13. Piramida triunghiulară regulată DABC, cu baza triunghiul echilateral ABC, are  înălţimea  de 36 cm şi raza cercului circumscris bazei de 6√3 cm. Punctul O este centrul  triunghiului ABC şi  M este mijlocul laturii BC. Să se afle:                                                       a)      lungimile  AB; DM şi  DB;                                                                                                        b)      distanţa dintre  M şi muchia  AD;                                                                                          c)      distanţa dintre  AB şi  DC;                                                                                                       d)      distanţa de la A la planul  triunghiului BCD.

 14. O piramidă patrulateră regulată  are latura bazei de 8 cm şi înălţimea de 6 cm.   Aflaţi apotema piramidei.

 15.  Apotema unei piramide patrulateră regulată  este de 14 cm, iar înălţimea  piramidei este de 4√6  cm.  Aflaţi latura bazei.

 16.  Muchia laterală a unei piramide patrulateră regulată  este de 20 cm, iar latura   bazei are 24 cm. Aflaţi înălţimea bazei.

17. O piramidă patrulateră regulată  are apotema  bazei de 9 cm şi înălţimea de  3√7  cm . Aflaţi apotema piramidei.

18. O piramidă patrulateră regulată  are perimetrul  bazei de 40 cm şi înălţimea de  3 cm . Aflaţi aria unei secţiuni diagonale a piramidei.

 19. Perimetrul unei secţiuni diagonale a unei piramide patrulateră regulată este de  40√2 cm. Ştiind că  latura bazei este de 16 cm, calculaţi aria unei secţiuni diagonale.

20.  Aria unei feţe laterale a unei piramide patrulateră regulată este de 36 cm. Ştiind că latura bazei este de  10 cm, calculaţi apotema piramidei.

 21. O piramidă patrulateră regulată  SABCD măsura unghiului dintre  muchiile SA şi SC de 600 . Ştiind că apotema bazei este de 8 cm, aflaţi înălţimea piramidei.

 22. Apotema [VM] a unei piramide patrulateră regulată  VABCD este de 12  cm. Punctul O este centrul bazei piramidei.  Măsura unghiului dintre  VO şi VM  este de 600 .  Calculaţi  perimetrul bazei piramidei.

23. Aria bazei unei piramide patrulateră regulată este de 576 cm2   . Apotemapiramidei este de  16 cm. Calculaţi înălţimea piramidei.

24. O piramidă patrulateră regulată  are latura bazei de 20 cm şi apotema de 12 cm .Calculaţi aria laterală.

25. Aria aria laterală a unei piramide patrulateră regulată este de 240 cm. Ştiind că apotema piramidei  este de  10 cm, calculaţi înălţimea piramidei.

26.   Aria aria laterală a unei piramide patrulateră regulată este de 180 dm2. Latura bazei este de  este de  12 cm. Calculaţi înălţimea piramidei.

27.  Calculaţi aria totală a unei piramide patrulateră regulată, ştiind că latura bazei este de 12,5 dm, iar apotema piramidei este de 8,4 dm.

28.   O piramidă patrulateră regulată are muchia laterală de 4√6  cm şi înălţimea de  8 cm.  Calculaţi aria totală.     

 29.  Muchia laterală a unei piramide patrulateră regulată este de  26 dm, iar latura bazei are 20 cm.    Calculaţi:                                                                                                                        a)       înălţimea  piramidei;                                                                                                              b)    aria totală.

30.    Înălţimea unei piramide patrulateră regulată are 9 cm. Ştiind ca aria laterală este de 720 cm2,  calculaţi aria totală.

31.Un cort are forma unei piramide patrulateră regulată VABCD. Pătratul ABCD este baza cortului, punctul O este centrul bazei,  M este mijlocul  laturii AB şi N este mijlocul laturii CD. Se ştie că VO = 3 m,  VM = 5 m. a) Arătaţi că pentru suprafaţa laterală a cortului s-au folosit 80 m2 de pânză. b) Calculaţi aria triunghiului.  c) Calculaţi distanţa de la N la faţa laterală opusă (VAB).

32.  …

Natalia  Ghită,  Agnita

TRUNCHIUL    DE   PIRAMIDA   REGULATA(16.10. 2015):

  1. Trunchiul de piramida triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are latura bazei mari AB = 24 cm, latura bazei mici A’B’ = 18 cm  si inaltimea O’O = √13 cm, unde O’ este centrul bazei mici, O este centrul bazei mari. Aflati lungimea apotemei trunchiului de piramida.
  2. Trunchiul de piramida triunghiulara regulata ABCDEF are apotema M’M = 16 cm,  M’ Є (DE) , M Є (AB), latura bazei mari AB = 60 cm, latura bazei mici DE = 12 cm. Aratati ca inaltimea trunchiului are  8 cm.

3. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are latura bazei mari AB = 45 cm, latura bazei mici A’B’ = 30 cm si muchia laterala A’A = 10√3 cm. Calculati lungimea inaltimii din care face parte trunchiul de piramida ABCA’B’C’.

4.Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are perimetrul bazei mari de 60 cm, perimetrul bazei mici de 30 cm si apotema de 5 cm. Aflati aria laterala  si aria totala.

5.Trunchiul de piramida triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are latura bazei mari AB = 66 dm, latura bazei mici A’B’ = 36 dm.  Stiind ca apotema trunchiului are 14 dm, sa se afle aria totala si volumul trunchiului de piramida.

6. Trunchiul de piramida triunghiulara regulata MNPQRS  are volumul egal cu 4644√3 cm3,    latura bazei mari MN = 48 cm, latura bazei mici QR = 30 cm. Aratati ca inaltimea trunchiului  este de 12 cm.

17.10.2015:

  1. Trunchiul de piramida triunghiulara regulata ABCA’B’C’ are latura bazei mari AB = 30 cm, apotema  M’M = 6 cm, unde M’  este mijlocul laturii A’B’, M este mijlocul laturii AB, iar raportul dintre  aria bazei mici si aria bazei mari este de  9 / 25.                                  a) Aratati ca A’B’ = 18 cm.                                                                                                         b) Aratati ca volumul piramidei  din care face parte trunchiul de piramida  este mai mic decat  1600 cm3.                                                                                                                          c) Calculati distanta de la varful C la planul (ABB’).
  2. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are apotema bazei mari de 7√3 cm, apotema bazei  mici de 3√3 cm  si inaltimea de 11 cm.                                                         a) Aratati ca apotema trunchiului de piramida are 13 cm.                                                   b) Calculati volumul trunchiului de piramida.                                                                         c) Aratati ca raportul dintre aria laterala a trunchiului de piramida si aria alterala a piramidei  din care face parte trunchiul de piramida  este egal cu 40 / 49.

Prof. Natalia Ghită, Agnita

10.02.2016:

9.  Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari de 24 dm, latura bazei mici de 16 dm si inaltimea de 8 dm. O apotema  a trunchiului are  … dm.

10. Daca un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari de  32 cm, latura bazei mici de 8 cm si inaltimea de 6 cm, atunci  o muchie laterala a trunchiului are  … cm.

11.  Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are perimetrul bazei mari de  128 cm, perimetrul bazei mici de 96 cm si apotema de 12 cm. Aria laterala a trunchiului este egala cu  … cm2.

12.  Daca aria laterala  a unui trunchi de piramida patrulatera regulata  este de 1440 cm ,latura bazei mari de 25 cm si apotema de 16 cm, atunci latura bazei mici are … cm.

13. Un trunchi de piramida triunghiulara regulata are latura bazei mari de 24 dm, latura bazei mici de 12 dm si apotema de 10 dm. Aria totala a trunchiului este egala cu … cm2.

14. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are apotema bazei mari de  15 cm si apotema bazei mici de 12 cm. Stiind ca aria totala a trunchiului este egala cu 2988 cm2, atunci apotema trunchiului are  … cm.

15. Un trunchi de piramida patrulatera regulata are latura bazei mari de  8 cm si apotema bazei mici de 5 cm si inaltimea de 9 cm. Volumul trunchiului este de … cm³.

15. Daca un trunchi de piramida patrulatera regulata are volumul de 1665 cm³, latura bazei mari de 12 cm si latura bazei mici de 9 cm, atunci inaltimea trunchiului este de  … cm.

16.

Natalia Ghită, Agnita

9 răspunsuri la Geom. în spaţiu:distanţa; prisma; piramida; trunchiul de piramida regulata; …

  1. Gabi zice:

    Bună ziua ! Mulțumesc

  2. Maria zice:

    Buna ,cine ma poate ajuta la problemele 2,3,8,9
    2)Volumul unui paralelipiped dreptunghic are lungimea de 3 radical din 3 ,inaltimea de 8 si diagonala de 10 cm este egala cu cm la 3

  3. Maria zice:

    3)aria laterara a unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de 4 radical 3 si diagonala bazei de 8 volumul 32 radical din 3 cm la 3 este egal cu cm la 2

    • nataliaghita zice:

      Alat = 2h . ( L + l); L = 4√3 cm, d = 8cm, V = 32√3 cm^3
      d ^2 = L^2 + l^2
      8^2 = (4√3)^2 + l^2
      … l^2 = 16 = > l = 4 cm
      V = L . l . h
      32√3 = 4√3 .4 . h
      h = 2 cm
      Alat = 2 . 2 . ( 4√3 + 4) cm^2 = … cm^2

  4. Maria zice:

    8) volumul unei prisme triunghiulare drepte cu bazele triunghiului cu diagonala unei fete de laterare de 13 si inaltimea de 12este egala cu cm la 3

    • nataliaghita zice:

      df = 13, h = 12.
      V = Ab . h = ?
      O fata laterala este un dreptunghi. Aplici teorema lui Pitagora . afli latura bazei, dupa care , cu formula ariei triunghiului echilateral, afli aria bazei, apoi inlocuiesti in formula volumului.
      Succes!

Lasă un răspuns

Completează mai jos detaliile tale sau dă clic pe un icon pentru a te autentifica:

Logo WordPress.com

Comentezi folosind contul tău WordPress.com. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Google

Comentezi folosind contul tău Google. Dezautentificare /  Schimbă )

Poză Twitter

Comentezi folosind contul tău Twitter. Dezautentificare /  Schimbă )

Fotografie Facebook

Comentezi folosind contul tău Facebook. Dezautentificare /  Schimbă )

Conectare la %s